Irracionales cuadráticos y puntos periódicos de un operador
by
Joaquín Luna-Torres
Universidad Distrital de Colombia
Coauthors: Carlos Ruiz S., Álvaro Duque H.

Se define V(x) = 1 / (x - [x]) sobre números reales: R^* = R⁺ - N. Se calculan los puntos fijos de V como las raices positivas de una secuencia de ecuaciones cuadráticas, parametrizadas por N. Los puntos fijos de V son los números n-aureos. Se trata de un conjunto discreto, cerrado, no acotado.

V resulta una función de Möbius por trozos, que se representa como una sucesión de matrices 2 ×2, lo que facilita estudiar el comportamiento de los Vⁿ (las iteradas de V).

El trabajo está destinado a caracterizar los puntos fijos de los Vⁿ. Se observa que los puntos fijos son siempre soluciones de ecuaciones cuadráticas con coeficientes enteros. Lo que conduce naturalmente al empleo de las fracciones continuas para caracterizarlos. De allí resulta que la fracción continua es periódica y el número correspondiente es irracional cuadrático.

Si se parte de una caracterización adecuada de los números reales en términos de sus fracciones continuas se obtiene un modelo algebraico mucho mas simple en el que se describen fácilmente el operador V y sus puntos periódicos.

Se establecen (a) un método algebraico que permite calcular los puntos fijos de Vⁿ a partir de los de V^n-1, y (b) sucesiones naturales de puntos fijos de cada Vⁿ que convergen hacia los polos de V^n-2 (un polo de V^k es un x tal que V^k (x) = \infty).

Date received: February 18, 1997

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