|
Organizers |
Metrically homogeneous spaces
by
Semeon A. Bogatyi
Moscow State University
На рубеже XIX и XX столетий основной задачей геометрии была задача ее аксиоматического построения. Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии было предложено почти одновременно несколькими учеными из разных стран. Однако большинство математиков связывает аксиоматическое обоснование геометрии с книгой Давида Гильберта, которая ближе всех соответствует ``Началам'' Евклида. Возможно, что именно подход Евклида, избегавшего ``процессы'' и предпочитавшего рассмотрение ``состояний'', обусловил полный отказ Гильберта от понятия ``движения'' в построении основ геометрии. Однако еще со времени Амадео Пеано была осознана важность понятия ``движение''. Так, в схеме Пиери (ученика Пеано) основными понятиями являются ``точка'' и ``движение''; в схеме В. Ф. Кагана - ``точка'', ``расстояние'' и ``движение''.
Проблема выделения евклидовой, эллиптической и гиперболической групп изометрий среди групп изометрий всех римановых многообразий восходит к Риману и Гельмгольцу. В своей знаменитой работе С. Ли решил задачу Римана-Гельмгольца (называемую теперь задачей Гельмгольца-Ли) и показал, что всякое риманово многообразие со свойством локальной свободной подвижности является локально евклидовым, сферическим, или гиперболическим.
В 1930 году А. Н. Колмогоров предложил тополого-геометрическую схему построения, в которой изометрии играют основную роль. В начале 40-вых годов Буземанн и Г. Биркгоф предложили построение (евклидовой, гиперболической и сферической) геометрии на основе понятия метрики и движения. Так, Г. Биркгоф показал, что n-мерные евклидовы, сферические и гиперболические геометрии характеризуются тем, что это метрические пространства, в которых любые две точки соединяются (локально единственным) метрическим отрезком, и всякая изометрия подмножеств продолжается до изометрии (на) всего пространства. Как отмечает Г. Биркгоф, эта гипотеза свободной подвижности подобно Прометею появляется в разных видах в доказательстве различных теорем. В системах Колмогорова и Буземана предполагается меньшая подвижность (у Буземана предполагается лишь возможность продолжения изометрии двух и трех точечного подмножества), но предполагается локальная компактность пространства. Ванг и Титс доказали глубокие теоремы о геометрии метрических пространств, в которых всякая изометрия, заданная на двух точках, продолжается до изометрии всего пространства. Всякое такое компактное (локально компактное и конечномерное) связное пространство является симметрическим римановым многообразием.
На основе понятия симметрии (не только центральной, но и осевой) строится геометрия в школе немецкого геометра Фридриха Бахмана.
Особняком оказалась работа П. С. Урысона, в которой построено полное универсальное метрически однородное пространство U и доказана его единственность. Как отмечает А. М. Вершик: ``Эта работа не получила широкой известности, хотя того заслуживает''. Ясно, что для пространства Урысона U должны нарушаться некоторые аксиомы (свойства) в схемах Колмогорова (нет локальной компактности), Биркгофа (нет локальной едиственности отрезков и метрической однородности относительно всех подмножеств), Ванга и Титса (нет локальной компактности). Однако метрическая однородность пространства Урысона относительно класса всех конечных подмножеств и единственность полного универсального пространства с этим свойством позволяет считать, что пространство Урысона есть один из естественных претендентов на реализацию бесконечномерной геометрии. Все сказанное выше показывает естественность и важность описания (классификации) всех (полных) метрически однородных пространств.
П.С.Урысон ставит вопросы: ``Не обладает ли пространство U более сильным свойством однородности ? Отрицательный ответ на этот вопрос до некоторой степени дается следующим ... Остается открытым вопрос: нельзя ли любые два конгруэнтных счетных множества в U перевести друг в друга изометрическим отображением пространства U на себя ?''
Теорема 1 В пространстве U существуют такие два счетные конгруэнтные подмножества A и B, что для всякого гомеоморфизма на F\colon U --> U F(A)\B =/= \emptyset.
Теорема 2 В пространстве U существует такое счетное подмножество A, расстояния между различными точками которого равны 1, что для всякого собственного подмножества B subset A и всякой изометрии (в) H\colon U --> U A\H(B) =/= \emptyset.
Положительный ответ на первый вопрос Урысона дает
Теорема 3 Для всякого компактного подмножества A subset U и всякой изометрии f\colon A\hookrightarrow U существует такая изометрия на F\colon U --> U, что F|A=f.
Следствие 1 Для всякого компактного подмножества A subset U диаметра d существует такое топологическое вложение гильбертова куба F\colon Q --> U, что A subset or equal F(Q) и \operatornamediamF(Q)=d.
Следствие 2 Для всякого бикомпактного подмножества A subset X вполне регулярного пространства X и всякого непрерывного отображения f\colon A --> U существует непрерывное продолжение F\colon X --> U.
Урысон доказал, что пространство U линейно связно и локально линейно связно. Согласно теореме Куратовского-Дугунджи из следствия 2 вытекает, что пространство Урысона U связно и локально связно во всех размерностях. При этом из возможности продолжать без увеличения диаметра вытекает даже, что всякий замкнутый шар в U всякого положительного радиуса связен во всех размерностях. Для открытых шаров эта связность может быть сформулирована в еще более сильной форме.
Предложение Пространство U и открытый шар B(a, r)={x in U\colon\rho(a, x) < r} гомеоморфны для любой точки a in U и любого положительного числа r.
Пространства B(a, r) и B(b, R) не только гомеоморфны, но даже подобны. Подобие сфер S(a, r) и S(b, R) есть прямое следствие метрической характеристики Урысона сферы S(a, r).
Из теоремы 3 легко вывести, что пространство Урысона U удовлетворяет свойству дизъюнктности дисков (DDP): Для любого компакта X subset U и любого \epsilon > 0 существует такой гомеоморфизм на H\colon U --> U, что \rho(a, H(a))=\epsilon для всякой точки a in U и X \cap H(X)=\emptyset. Это показывает, что вероятно пространство U гомеоморфно гильбертову пространству l2. Из теоремы 3 вытекает также, что группа изометрий \operatornameIso(U) пространства Урысона U содержит свободную группу от двух (а значит и от счетного множества) образующих. Можно также показать, что всякая конечная группа вкладывается в \operatornameIso(U).
Универсальность и компактная однородность пространства Урысона U позволяют упростить некоторые метрические рассмотрения; например, радиус заполнения по Громову может быть определен с помощью одного (любого) изометрического вложения в U.
Показано, что для всякого счетного множества неотрицательных действительных чисел S, содержащего 0 в качестве неизолированной точки, на пространстве иррациональных чисел существует универсальная однородная полная ультраметрика, значения которой принадлежат S; причем все такие метрики изометричны. В указанной ультраметрике замкнутые шары изометричны ограничивающим их сферам.
Вопрос о справедливости n-мерного аналога открыт: Существует ли на n-мерном пространстве Н\"ебелинга полная однородная метрика (метрика Нагата, или метрика де Грота-Остранда, характеризующие топологическую n-мерность; универсальная в классе таких метрик) ?
Date received: May 31, 1999
Copyright © 1999 by the author(s). The author(s) of this document and the organizers of the conference have granted their consent to include this abstract in Atlas Conferences Inc. Document # cacy-21.