|
Organizers |
Isospectral flat Klein's bottles
by
Ruslan Isangulov
Novosibirsk State University
Abstract
Эта работа связана со спектром оператора Лапласа-Бельтрами на компактном
римановом многообразии. Будем говорить, что два многообразия M и M'
изоспектральны, если собственные значения оператора Лапласа многообразий
M и M' совпадают. Очевидно, что если многообразия изометричны, то они
изоспектральны.
В 1964 году Дж. Милнор [3] привел пример 16-мерных изоспектральных
неизометричных торов, а в 1988 году Р. Брукс [1] доказал, что два плоских тора
изоспектральны тогда и только тогда, когда они изометричны.
В настоящее время известны примеры изоспектральных неизометричных поверхностей
рода g, где g >= 4. Для поверхностей рода g, где g=2 или g=3, вопрос
об изометричности изоспектральных поверхностей пока остается открытым.
В данной работе доказывается следующий результат:
Теорема.
Две плоские бутылки Клейна изоспектральны тогда и
только тогда, когда они изометричны.
Для доказательства теоремы мы используем функцию следа
tr(HK) = \intK HK(x, x, t)dK, где K - плоская бутылка Клейна,
HK(x, y, t) - фундаментальное решение уравнения теплопроводности на многообразии
K, dK - элемент объема, которая, в силу ([2], стр.187), в точности определяется
спектром многообразия K.В работе получена явная формула для функции следа:
Выражаю благодарность научному руководителю А.Д. Медных за постановку задачи и
дальнейшее ее обсуждение, а также А.В. Павлову за ценные замечания.
где area(K) - площадь бутылки Клейна, \Lambda = { l = m l1+n l2, m, n in Z}
- решетка для тора, накрывающего бутылку Клейна, где множество, натянутое на линейно
независимые вектора l1/2 и l2,
образует фундаментальное множество бутылки Клейна K.
Для доказательства изометричности изоспектральных бутылок Клейна мы используем
тот факт, что по функции tr(HK) можно однозначно определить площадь
бутылки Клейна area(K) и длины |l1| и |l2|.
tr(HK)=
area(K)
е
l in \Lambda
e-|l|2/4t +
(\pi t )1/2|l1|
е
m in Z
e-(m+1/2)2|l1|2/4t, References
Date received: February 14, 2000
Copyright © 2000 by the author(s). The author(s) of this document and the organizers of the conference have granted their consent to include this abstract in Atlas Conferences Inc. Document # cadw-21.