|
Organizers |
О КОМПАКТНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО КОМПЛЕКСА
by
V.I. Kuzminov and I.A. Shvedov
Sobolev Institute of mathematics SB RAS
В. И. Кузьминов, И.А. Шведов.
О КОМПАКТНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО КОМПЛЕКСА.
Пусть d:A --> B - замкнутый линейный оператор действующий из банахова пространства A в банахово пространство B, Dom d - его область задания, снабженная нормой ||a||Dom d=(||a||A2+||da||B2)1/2. Условия Dom d-1=Im d, d-1 o d=\pi, где \pi:A --> A/Ker d - каноническая проекция, однозначно определяют оператор d-1:B --> A/Ker d.
Оператор d называется компактно (нормально) разрешимым, если оператор d-1 компактен (ограничен). Замкнутый оператор T нормально разрешим в том и только в том случае, когда подпространство Im T замкнуто в B.
Лемма. Оператор d компактно разрешим тогда и только тогда, когда оператор \pi|Dom, d:Dom d --> A/Ker d компактен.
Пусть H1, H2, H3 - гильбертовы пространства, d1:H1 --> H2 и d2:H2 --> H3 - замкнутые линейные операторы, Im d1 subset Ker d2. Тогда \Delta = d1 o d1*+d2* o d2 - самосопряженный оператор. Этот оператор компактно разрешим тогда и только тогда, когда компактно разрешимы операторы d1 и d2. Произвольный самосопряженный оператор компактно разрешим в том и только том случае, когда его спектр дискретен и все ненулевые собственные значения имеют конечную кратность.
Пусть X - гладкое многообразие (без края) класса C\infty, \mu - мера на X, локально эквивалентная в каждой карте многообразия X мере Лебега, p in [1, \infty). Пусть E=(Ei, di)i in Z - дифференциальный комплекс на X, каждый дифференциал которого di - дифференциальный оператор порядка pi > 0, действующий из эрмитова расслоения Ei в эрмитово расслоение Ei+1. Обозначим через Lpi(E) банахово пространство измеримых сечений u расслоения Ei, для которых ||u||Lp={\intX|u(x)|p d\mu}1/p < \infty. Пусть dWi:Lpi(E) --> Lpi+1(E) - линейный оператор с областью задания Wpi(E)={u in Lpi(E) : di u in Lpi+1(E)}, совпадающий на этой области задания с оператором di. Обозначим через Vpi(E) замыкание в Wpi(E) подпространства, образованного гладкими сечениями с компактными носителями.
Предположим, что для каждого i in Z в Wpi(E) задано замкнутое подпространство \Gammai, причем dWi(\Gammai) subset \Gammai+1 и Vpi(E) subset \Gammai. Такую последовательность \Gammai будем называть идеальными граничными условиями \Gamma. Обозначим через d\Gammai:Lpi(E) --> Lpi+1(E) оператор с областью задания \Gammai, совпадающий на \Gammai с оператором dWi.
Теорема 1.
Пусть E=(Ei, di)i in Z - эллиптический комплекс и для каждой финитной функции j на X оператор j:\Gammai --> \Gammai умножения сечений на функцию j ограничен. Тогда оператор d\Gammai компактно разрешим в том и только том случае, когда выполнено следующее условие: для любого \epsilon > 0 найдутся компакт K в X и число C такие, что для каждого u in \Gammai, ||u||Wp <= 1, найдется такое v in \Gammai, что d\Gammai v=d\Gammai u, ||v||Wp <= C и \intX\K|v(x)|pd\mu < \epsilon.
Условие ограниченности оператора j в теореме 1 оказывается выполненным автоматически в каждом из следующих двух случаев: а) порядок pi оператора di равен 1; б) оператор di имеет инъективный символ.
Пусть \Lambda = (\Lambdak, dk) - комплекс де Рама на римановом многообразии X.
Теорема 2.
Если многообразие X является внутренностью компактного многообразия с краем, то операторы внешнего дифференцирования dWi, dVi:Lpi(\Lambda) --> Lpi+1(\Lambda) компактно разрешимы.
Существуют примеры граничных условий \Gamma на многообразии X, являющемся внутренностью компактного многообразия, для которых операторы внешнего дифференцирования d\Gammai не нормально разрешимы, и примеры, для которых d\Gammai нормально разрешимы, но не компактно разрешимы.
Пусть f - гладкая положительная функция на [0, \infty) и X - поверхность вращения, заданная в Rn+2 уравнением y12+ ... yn+12=f2(x), (x, y1, ... yn+1) in Rn+2, 0 < x < \infty.
Теорема 3.
1) Если функция 1/f ограничена, то для любого i in [`0, n] оператор dWi:Lpi(\Lambda) --> Lpi+1(\Lambda) не компактно разрешим.
2) Если f(x) --> 0 при x --> \infty, то операторы dWi компактно разрешимы при 1 <= i <= n-1.
3) Оператор dW0 компактно разрешим тогда и только тогда, когда (\intx\infty fn\surd{1+f'2}dt)1/p (\int0x f-np/p'\surd{1+f'2}dt)1/p' --> 0 при x --> \infty.
4) Оператор dWn компактно разрешим тогда и только тогда, когда (\int0x fn\surd{1+f'2}dt)1/p (\intx\infty f-np/p'\surd{1+f'2}dt)1/p' --> 0 при x --> \infty.
Здесь 1/p+1/p'=1.
Date received: February 17, 2000
Copyright © 2000 by the author(s). The author(s) of this document and the organizers of the conference have granted their consent to include this abstract in Atlas Conferences Inc. Document # cadw-26.